Cuadrivelocidad, aceleración y cuadrimomentum

En el espacio-tiempo de Minkowski, las propiedades cinemáticas de las partículas se representan fundamentalmente por tres magnitudes: La cuadrivelocidad (o tetravelocidad) , la cuadriaceleración y el cuadrimomentum (o tetramomentum).

La cuadrivelocidad es un cuadrivector tangente a la línea de universo de la partícula, relacionada con la velocidad coordenada de un cuerpo medida por un observador en reposo cualquiera, esta velocidad coordenada se define con la expresión newtoniana ${\displaystyle dx^{i}/dt}$, donde ${\displaystyle (t,x^{1},x^{2},x^{3})\;}$ son el tiempo coordenado y las coordenadas espaciales medidas por el observador, para el cual la velocidad newtoniana ampliada vendría dada por ${\displaystyle (1,v^{1},v^{2},v^{3})\,}$. Sin embargo, esta medida newtoniana de la velocidad no resulta útil en teoría de la relatividad, porque las velocidades newtonianas medidas por diferentes observadores no son fácilmente relacionables por no ser magnitudes covariantes. Así en relatividad se introduce una modificación en las expresiones que dan cuenta de la velocidad, introduciendo un invariante relativista. Este invariante es precisamente el tiempo propio de la partícula que es fácilmente relacionable con el tiempo coordenado de diferentes observadores. Usando la relación entre tiempo propio y tiempo coordenado: ${\displaystyle dt=\gamma d\tau \;}$ se define la cuadrivelocidad [propia] multiplicando por ${\displaystyle \ \gamma }$ las de la velocidad coordenada: ${\displaystyle u^{\alpha }=v^{\alpha }\gamma =dx^{i}/d\tau }$.

La velocidad coordenada de un cuerpo con masa depende caprichosamente del sistema de referencia que escojamos, mientras que la cuadrivelocidad propia es una magnitud que se transforma de acuerdo con el principio de covariancia y tiene un valor siempre constante equivalente al intervalo dividido entre el tiempo propio (${\displaystyle ds/d\tau }$), o lo que es lo mismo, a la velocidad de la luz c. Para partículas sin masa, como los fotones, el procedimiento anterior no se puede aplicar, y la cuadrivelocidad puede definirse simplemente como vector tangente a la trayectoria seguida por los mismos.

La cuadriaceleración puede ser definida como la derivada temporal de la cuadrivelocidad (${\displaystyle a^{i}=du^{i}/d\tau }$). Su magnitud es igual a cero en los sistemas inerciales, cuyas líneas del mundo son geodésicas, rectas en el espacio-tiempo llano de Minkowski. Por el contrario, las líneas del mundo curvadas corresponden a partículas con aceleración diferente de cero, a sistemas no inerciales.